הכנה לבגרות

משוואת קו ישר:

$$y = mx + b$$

שיפוע ע"י 2 נק':

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

משוואת ישר ע"י נקודה ושיפוע:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

פרבולה:

נוסחת השורשים:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

ציר הסימטריה:

$X_{sym}=\frac{-b}{2a}$

קודקוד הפורבולה:

$P_{vertex}(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$

כפל שורשים:

$x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$

חיבור שורשים:

$x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}$

אלגברה:

בינום מסדר 2:

$(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$

הכפל המקוצר:

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

ערך מוחלט:

$ |x| = a → x = a \text{ ; } x = -a$

עצרת:

$n! = n \times (n-1) \times \dots \times 2 \times 1$

נגזרות:

פולינום:

$\frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1}$

מעריך:

$\frac{d}{dx}(e^{ax}) = ae^{ax}$

לוגריתם:

$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x}$

שורש:

$\frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

סינוס:

$\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$

קוסינוס:

$\frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$

טנגנס:

$\frac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)$

חדו"א:

חוק השרשרת:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

נגזרת מכפלה:

$\frac{d}{dx}[u \cdot v] = u' \cdot v + u \cdot v'$

נגזרת שבר :

$\frac{d}{dx}\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

הגדרת גבול הנגזרת:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

אינטגרלים:

פולינום:

$\int ax^n \, dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C$

מעריך:

$\int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$

לוגריתם:

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

סינוס :

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

קוסינוס :

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

טנגנס :

$\int \tan(x) \, dx = -\ln|\cos(x)| + C$

גאומטריה:

פיתגורס:

$c^2 = a^2 + b^2$

היקף מעגל:

$P = 2\pi r$

שטח משולש :

$A = \frac{1}{2}bh$

שטח מעגל:

$A = \pi r^2$

נפח כדור :

$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

נפח קונוס:

$V = \frac{1}{3}\pi r^2h$

אלגברה אנליטית:

חלוקת ישר ביחס k:l:

$\left( \frac{kx_2 + lx_1}{k + l}, \frac{ky_2 + ly_1}{k + l} \right)$

משוואת אליפסה:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

מוקד האליפסה:

$(h \pm \sqrt{a^2 - b^2}, k) \text{ for } a > b$

משיק לאפליסה:

$\text{Tangent at } (x_1, y_1) \text{ is } \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1$

פרבולה (הפוכה):

$(y - k)^2 = 4p(x - h)$

היפרבולה:

$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

טריגונומטריה:

משפט הסינוסים:

$\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)}$

משפט הקוסינוסים :

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$

שטח משולש :

$A = \frac{1}{2}ab\sin(∡\theta)$

שטח מקטע מעגל :

$A = \frac{1}{2}r^2\theta$

זהויות טריגונומטריות:

זהות פיתגורס:

$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$

סכום זוויות:

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$

סינוס זווית כפולה:

$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$

קוסינוס זווית כפולה:

$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$

טנגנס זווית כפולה:

$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$

סינוס חצי זווית:

$\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2}$

קוסינוס חצי זווית:

$\cos^2\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2}$

טנגנס חצי זווית:

$\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos(\theta)}{\sin(\theta)}$

אוילר:

$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$

cot:

$\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$

sec:

$\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$

csc:

$\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$

הסתברות:

חוק ההסתברות:

$P(A) = \frac{\text{תוצאות רצויות}}{\text{סה"כ תוצאות אפשרויות}}$

הסתברות מותנית:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

חוק ביוס:

$P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$

פרמוטציה:

$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$

קומבינציות:

$C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

התפלגות נורמלית:

$f(x|\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$

התפלגות בינומית:

$P(k; n, p) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

תוחלת משתנה בדיד אקראי:

$E(X) = \sum xP(x)$

לוגריתמים:

חזקה של לוג:

$x = a^{\log_a x}$

המרת בסיס הלוג:

$\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a}$

לוג של מכפלה:

$\log(a\cdot b) = \log a+ \log b$

לוג של שבר:

$\log(\frac{a}{b}) = \log a-\log b$

לוג של חזקה:

$\log(a^b) = b\cdot \log a$

לוג טבעי:

$\ln(x) = \frac{\log_a x}{\log_a e}$

גידול ודעיכה:

גידול מעריכי:

$y = y_0e^{kt}$

ריבית דריבית:

$A = P\left(1+\frac{r}{n}\right)^{nt}$

בעיות מילוליות:

משוואת מרחק-זמן:

$\text{Distance} = \text{Speed} \cdot \text{Time} $

ריבית פשוטה:

$I = Prt$ (Interest = Principal $\times$ rate $\times$ time)

ריבית מצטברת:

$A = Pe^{rt}$

סדרות:

הנדסית:

$a_n = aq^{n-1}$

סכום סדרה הנדסית:

$S_n = a \frac{1-q^n}{1-q}$ for $q \neq 1$

סכום סדרה הנדסית אינסופית:

$S = \frac{a}{1-q}$ for $|q| < 1$

חשבונית:

$a_n = a + (n-1)d$

סכום סדרה חשבונית:

$S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)$

סדרה הרמונית:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$

סדרת חזקות:

$\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n$

מרוכבים:

הצגה קרטזית:

$z = a + bi$

הצגה פולרית:

$z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$

הצמוד:

$\overline{z} = a - bi$

ערך מוחלט:

$|z| = r = \sqrt{a^2 + b^2}$

ארגומנט:

$\arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$

חזקה:

$z^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))$